Построить линию пересечения поверхностей методом секущих сфер.

Построить линию пересечения поверхностей методом секущих сфер.

Задача аналогична построению линии пересечения конуса и сферы, как и последовательность ее решения. Но при построении точек линии пересечения в качестве секущих элементов применяются не плоскости, а сферы. Их применение в качестве секущих поверхностей-посредников основано на том, что соосные (имеющие общую ось вращения) поверхности вращения пересекаются не по пространственным кривым 4-го порядка, как в общем случае, а по окружностям, плоскости которых перпендикулярны их общей оси вpaщeния. Метод секущих сфер применяется для нахождения точек линии пересечения поверхностей в том случае, если оси этих поверхностей пересекаются и параллельны какой-либо плоскости проекций. Центр секущих сфер - в точке пересечения осей заданных поверхностей, т.к. только в этом случае сфера будет соосна с обеими поверхностями и пересекать их по окружностям.

Рассмотрим алгоритм метода секущих сфер на примере пересечения двух конических поверхностей, оси которых пересекаются и параллельны фронтальной плоскости проекций (рис. 7):

1. Проводим сферу R c центром в точке О = ij, пересекающую обе поверхности.
2. Строим проекции окружностей, по которым сфера пересекает заданные поверхности. Так как оси i и j параллельны П2, а плоскости окружностей перпендикулярны осям вращения, то на П2 эти окружности спроецируются в виде отрезков, перпендикулярных i2 и j2. Для построения проекций этих окружностей находим точки пересечения очерка сферы R c очерками заданных поверхностей и соединяем их попарно в отрезки, перпендикулярные соответственно i2 и j2. Конус с осью i пересекается сферой по окружностям а(а2) и b(b2), а конус с осью j - по окружностям m(m2) и n(n2).
3. Находим искомые точки линии пересечения как результат пересечения построенных окружностей. Окружность а пересекается с окружностями m и n в точках 1, 2, 3, 4, а окружность b - с окружностями n и m в точках 5, 6, 7, 8.

Проекции найденных точек на П1 и П2 находятся по принадлежности окружностям a, b, m, n. Например, окружности а и b параллельны П1 и проецируются в эту плоскость в натуральную величину. Построив их горизонтальные проекции, находим по принадлежности им горизонтальные проекции точек 1...8.

Для построения достаточного количества точек линии пересечения поверхностей необходимо провести достаточное количество секущих сфер и полученные точки соединить плавной кривой ( рис. 8). Радиусы R сфер, применяемых в качестве секущих, должны соответствовать выражению RminRRmax.

Для определения минимального радиуса Rmin на той плоскости проекций, которой параллельны оси поверхностей, из центра сфер проводятся нормали (перпендикуляры) n и n` к образующим заданных поверхностей. Большая из этих нормалей n будет равна Rmin. Сфера такого радиуса пересекает одну из поверхностей и касается другой. Если взять сферу радиусом меньшим Rmin, то она не будет пересекать одну из поверхностей и ее применение потеряет смысл.

Максимальный радиус секущей сферы Rmax равен расстоянию от центра сфер до наиболее удаленной точки пересечения очерков заданных поверхностей. Сфера радиусом большим Rmax, пересекает обе поверхности, но линии пересечения не пересекаются между собой.