Построить линию пересечения треугольников. Определить видимость их на проекциях.

Пример решения задачи на рис. 2.

Чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, нужно найти две общие для них точки. Такими точками являются точки пересечения сторон одного треугольника с плоскостью другого. Задача сводится, таким образом, к первой основной позиционной задаче - найти точку пересечения прямой с плоскостью. Эта задача решается с помощью вспомогательной плоскости - посредника по следующему алгоритму (рис. 3).

1. Через заданную прямую l проводим вспомогательную проецирующую плоскость М: 1 l. 
2. Строим линию m пересечения вспомогательной  и заданной  плоскостей: m =. 
3. Находим искомую точку К пересечения прямой l с плоскостью  как результат пересечения заданной прямой l с построенной линией пересечения m: К=l =lm. 

Для нахождения точки пересечения стороны (BС) АBС с плоскостью DЕF заключаем (ВС) во фронтально проецирующую плоскость . Так как 2, то проецируется в П2 в виде прямой (вырожденная проекция 2), а так как  проходит через прямую (ВС), то (В2С2)=2.

Строим линию пересечения  и DEF. Она определяется двумя точками пересечения  со сторонами DEF: 1=(DF), 2= (DE). Построив проекции этих точек сначала на П2 как результат пересечения 2 с (D2F2) и (D2E2), а затем на П1 по принадлежности 11(D1F1), 21(D1E1), соединяем их одноименные проекции и получаем проекции линии пересечения m=(DEF), при этом m2 =2.

Находим точку М пересечения стороны (BС) с плоскостью DEF как результат пересечения (BС)m, сначала на П1, а затем по принадлежности (ВС) на П2.

Аналогичным образом находим вторую точку искомой линии пересечения: N=(FE)IIABC

Соединив одноименные проекции точек М и N, получаем искомую линию пересечения АВС и DEF.

Видимость треугольников определяем методом конкурирующих точек. Для определения видимости на П2 берем пару фронтально конкурирующих точек (лежащих на одном перпендикуляре к П2), одна из которых принадлежит стороне АВС, а другая – стороне DEF. В качестве одной из точек возьмем уже построенную на чертеже точку 1(DF), а вторую точку - 5 на стороне (ВС). При этом 12=52. Строим горизонтальную проекцию точки 5 по принадлежности (ВС) и определяем, какая из точек ближе к наблюдателю при взгляде на П2. Очевидно, это точка 5. Следовательно, точка 5 видима, а точка 1 заслоняется точкой 5 и на П2 невидима. Т. е. сторона (DF) располагается за плоскостью ABC и ее участок (1,8) на П2 является невидимым. Видимость остальных сторон ABC и DEF на фронтальной проекции определяется, исходя из следующих положений: 1) если одна из скрещивающихся прямых, проекции которых пересекаются, видима, то другая - невидима и наоборот; 2) точка пересечения прямой с плоскостью является точкой изменения видимости прямой.

Аналогично с помощью горизонтально конкурирующих точек 6(DE) и 7(ВС) определяем видимость треугольников на П1.